Gimė 1867 m. gruodžio 8 d. Totorių Skersabaliuose Kalvarijos paviete, Augustavo gubernijoje, Aleksandro ir Rozalijos Sulkevičių šeimoje. Priklausė senai totorių bajorų giminei. Tėvas, buvęs Rusijos kariuomenės karininkas, išėjęs į pensiją su šeima persikėlė gyventi į Stambulą, kur mirė apie 1877 m. Po trijų metų motina su sūnumi Aleksandru sugrįžo į Lenkiją ir apsistojo Suvalkuose. 1881 m. kartu su motina persikėlė į Seinus. Ši moteris, pergyvenusi 1863 m. sukilimą, turėjo ypatingos įtakos sūnaus auklėjime. Keturis metus jis lankė vietos mokyklą, kurią baigęs turėjo teisę stoti į junkerių mokyklą, tačiau nuo jaunystės įsijungė į politinę veiklą, 1887 – 1892 m. buvo II Proletariato narys. Baigęs Seinų miesto mokyklą, trumpai dirbo iždininku Suvalkuose, o nuo 1890 m. – Kybartų (Virbalio) muitinėje. Darbą jam padėjo gauti totorius, Vilkaviškio pasienio brigados pulkininkas, o vėliau generolas Janas Vilčinskis. A. Sulkevičiaus dėka, ištisą dešimtmetį į aneksuotą Lenkijos bei Lietuvos teritoriją patekdavo dideli kiekiai draudžiamos literatūros. Jam talkino generolo sūnus Juzefas Vilčinskis, taip pat kurį laiką dirbęs muitinėje. Juzefas mirė 1907 m. ir buvo palaidotas Vinkšnupių totorių kapinėse. Šis muitinės postas anuomet buvo vienintelis kelias nelegaliai literatūrai patekti į Lenkijos karalystę ir Lietuvą. Leonas Kričinskis savo straipsnyje apie A. Sulkevičių rašo „…iš Vakarų nelegalią literatūrą A. Sulkevičius vežė dideliais kiekiais: šimtus ir tūkstančius egzempliorių brošiūrų, laikraščių, knygų ir atsišaukimų, be to buvo vežami tipografiniai šriftai“
Apie A. Sulkevičiaus nuopelnus Lietuvos nepriklausomybės reikalui savo
prisimininmuose taip pat rašo Lietuvos prezidentas K. Grinius: tarnaudamas Kybartų muitinėje iš Rytprūsių per sieną į Lietuvą jis praleisdavęs carinės valdžios uždraustą lietuvišką spaudą.
1900 m. A. Sulkevičius buvo areštuotas, tačiau nepavykus įrodyti kaltės paleistas į laisvę. Tais pat metais turėjo apleisti darbą muitinėje. Po to keletą metų praleido Kijeve, savo bute spausdindamas laisvės sąjūdžio literatūrą. Tais pačiais metais jis atvežė į Krokuvą ir sumontavo pirmą spaustuvę, kurioje buvo spausdinamas laikraštis „Rabotnik“ (Darbininkas). Vėliau ši pogrindinė tipografija apkeliavo daugelį Lenkijos miestų ir miestelių. Buvo vienas aktyviausių 1905 m. revoliucijos dalyvių Lenkijos teritorijoje.
1892 m. lapkričio 21 d. kartu su II Proletariato veikėjų grupe dalyvavo
Lenkijos socialistų suvažiavime, kuriame buvo įkurta Lenkijos socialistų partija – P.P.S (Polska partia socjalistyczna). Nuo partijos įsikūrimo A. Sulkevičius tapo jos aktyviu nariu. 1893 m. pradėjo tampriai bendradarbiauti su J. Pilsudskiu. Šis bendradarbiavimas, peraugęs į draugystę, truko iki A. Sulkevičiaus mirties. 1900 m. kartu su bendražygiais jis padėjo J. Pilsudskiui pabėgti iš Peterburgo Šv.Mikalojaus Stebukladario ligoninės. Nuo 1901 m. A. Sulkevičius vadovavo visai P.P.S. techninei bazei. Buvo renkamas į partijos vadovybę. Po 1905 m. pablogėjus sveikatai A. Sulkevičius gydėsi Krokuvoje ir Zakopanėje.
Kai 1906 m. Vienoje vykusiame suvažiavime Lenkijos socialistų partija
skilo, A. Sulkevičius perėjo į dešinįjį Revoliucinį jos sparną, kovojusį už Lenkijos nepriklausomybę.
Prasidėjus Pirmąjam pasauliniam karui, A. Sulkevičius kartu su bendražygiais, Lodzėje įkūrė Lenkijos Tautos organizaciją (Polska Organizacja Narodowa). 1915 m. už nepriklausomybės veiklą Varšuvoje vokiečių buvo areštuotas, bet greitai paleistas.
Tais pat metais A. Sulkevičius savanoriu įstojo į I Legionų Brigados 5
pėstininkų pulką. Nepaisydamas daugkartinių bendražygių prašymų pasilikti intendantūroje, išvyko į frontą. 1916 m. rugsėjo 18 d. žuvo ties Sitovičomis Voluinėje, teikdamas pagalbą sužeistam draugui papulkininkiui A. Kocui. Buvo vedęs Jadvygą Balicką, su kuria susilaukė trijų vaikų.
1933 m. grupė Vilniaus totorių įkūrė komitetą A. Sulkevičiaus palaikams
perkelti į Vilniaus musulmonų kapines. Šiai idėjai pritarė Lenkijos vyriausybė, kuri pasiūlė juos perlaidoti Povonzkų kapinėse Varšuvoje. Palaikų perkėlimo darbai užtruko, nes buvo sunku identifikuoti A. Sulkevičiaus kapą legionierių kapinėse Kovelio paviete Voluinėje. Tik 1935 m. lapkričio 6 d. A. Sulkevičiaus palaikai lydimi garbės sargybos pajudėjo link Varšuvos. Iškilmingos A. Sulkevičiaus laidotuvės įvyko 1935 m. lapkričio 8 d. Į pakutinę kelionę jį palydėjo totorių bendruomenės atstovai, vadovaujami muftijaus dr. Jokūbo Šinkevičiaus. Laidotuvėse dalyvavo Lenkijos vyriausybės, Seimo ir Senato, kariuomenės bei visuomenės atstovai. A. Sulkevičiaus palaikai buvo garbingai perlaidoti Varšuvos Povonzkų kapinėse, specialiai įrengtame mauzoliejuje.
Po mirties A. Sulkevičius buvo apdovanotas „Virtuti Militari“ kryžiumi.
Apie A. Sulkevičių parašyta daug istorinės bei grožinės literatūros. Apie jį rašė Teodoras Chmelevskis, Vaclavas Lapinskis, Janas Nivinskis, Gustavas
Olechovskis, Stefanas Žeromskis ir kiti.
